Les résultats
du dépouillement sont les suivants :
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X1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
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100 |
5 |
29 |
40 |
19 |
6 |
1 |
|
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X2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
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100 |
9 |
14 |
20 |
18 |
24 |
15 |
|
|
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X3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
100 |
11 |
13 |
9 |
21 |
22 |
13 |
5 |
4 |
2 |
|
X4 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
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100 |
1 |
11 |
22 |
34 |
23 |
9 |
|
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On calcule ensuite les moyennes et variances observées, en utilisant les formules des moyennes et variances pondérées données dans le chapitre 4 :
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m1= [ 5 x 0 + 29 x 1 + 40 x 2 + 19 x 3 + 6 x 4 + 1 x 5 ] / 100 |
= 1.95 |
|
s12= [ 5 x 02 + 29 x 12 + 40 x 22 + 19 x 32 + 6 x 42 + 1 x 52 ] / 100 - 1.952 |
= 1.0075 |
On trouve de la même façon :
|
m2 |
= 3.79 |
m3 |
= 3.21 |
m4 |
= 4.94 |
|
s22 |
= 2.3659 |
s32 |
= 3.8859 |
s42 |
= 1.3364 |
On compare ensuite ces paramètres observés aux moyennes et variances théoriques des lois de probabilités proposées :
X1 :
loi binomiale B(5,0.4) : m =5 x 0.4 =
2, s2 = 5 x 0.4 x 0.6 = 1.2
loi de Poisson P(1.5) : m = 1.5, s2 = 1.5
loi uniforme discrète sur {1, …, 5} : m =(5 + 1) / 2
= 3, s2 = (52 - 1 ) / 12 = 2
On peut hésiter entre la loi de
Poisson et la loi binomiale. Mais la moyenne et la variance observées sont
assez différentes, on choisit donc la loi binomiale. évidemment, la loi uniforme sur {1, …, 5} est impossible,
puisque la valeur 0 a été observée.
X2 :
loi binomiale B(6,0.8) : m =6 x 0.8 =
4.8, s2 = 6 x 0.8 x 0.2 = 0.96
loi de Poisson P(3) : m = 3, s2 = 3
loi uniforme discrète sur {1, …,
6} : m =3.5 , s2 = (62 - 1 ) / 12 =
2.92
La loi la plus vraisemblable est la loi uniforme sur {1, …,
6}. Il est indispensable de vérifier que toutes les valeurs observées sont
comprises entre1 et 6.
X3 :
loi binomiale B(8,0.4) : m =3.2, s2 = 1.92
loi de Poisson P(3) : m = 3, s2 = 3
loi uniforme discrète sur {1, …,
4} : m =2.5, s2 = 1.25
La loi la plus vraisemblable est la loi de Poisson. On note
qu’il existe des valeurs observées supérieures à 4 : la loi uniforme sur
{1, …, 4}est impossible.
X4 :
loi binomiale B(7,0.7) : m = 4.9, s2 = 1.47
loi de Poisson P(5) : m = 5, s2 = 5
loi uniforme discrète sur {1, …,
9} : m = 5, s2 = 6.67
On choisit bien entendu la loi binomiale. On notera que
dans ce dernier cas, certaines valeurs possibles, 0 et 1, n’ont pas été
observées. Cela ne signifie pas quelle loi binomiale est impossible. Le calcul
des probabilités de la loi B(7, 0.7) donne les résultats suivants :
|
k |
P(X=k) |
P(X<=k) |
k |
P(X=k) |
P(X<=k) |
|
0 |
0.000219 |
0.000219 |
4 |
0.226895 |
0.352931 |
|
1 |
0.003572 |
0.003791 |
5 |
0.317652 |
0.670583 |
|
2 |
0.025005 |
0.028796 |
6 |
0.247063 |
0.917646 |
|
3 |
0.097241 |
0.126036 |
7 |
0.082354 |
1.000000 |
Les valeurs 0 et 1 ont des probabilités
très faibles. La probabilité que les valeurs 0 et 1 n’apparaissent pas parmi
100 observations de la loi B(7, 0.7) est égale à :
(1 - 0.000219 - 0.003791)100 = 0.67
Cette probabilité est supérieure à 1/2. L’absence de 0 et de1 est donc normale.